文/何建和,严世榕
1. 引言
目前国内对振动压路机的动力学研究,有用线性模型描述的,也有用非线性模型描述的。虽然文献[1]、[2]较早地研究了振动压路机的动力学与运动学,但由于仅限于线性介质的研究,具有一定的局限性。为了更全面地研究压路机———土壤系统的非线性特性以及在压实过程中可能出现的混沌现象,笔者在参考有关文献的基础上建立了一种新的具有二级减振系统三自由度非线性的振动压路机 ———土壤系统的动力学模型,并运用MATLAB及其SIMULINK对其进行计算机仿真,探讨该系统的运动规律。由于这种新的动力学模型是非线性的,其仿真结果也是新的,并从中得出了一些结论,因此对业界有一定的参考价值。
2. 动力学模型的建立
图1中m1, m2, m3分别为驾驶室、机架和振动轮的质量;k1, k2分别为二级隔振器的弹簧刚度、一级隔振器的弹簧刚度; c1, c2分别为二级隔振器的阻尼系数、一级隔振器的阻尼系数; f(x3)、g(x3)为压实土壤的弹塑性变形对轮子的弹性力和阻尼力;α表示土壤的非线性系数; F0sinωt为作用在振动轮上的惯性激振力, F0= Me×ω2,ω表示激振器的转速。根据图1的动力学模型,可以得到系统的运动微分方程如下:
其中k3、c3分别为土壤的线性刚度和土壤阻尼系数。
3 动力学仿真研究
根据有关文献,仿真时基本参数为:m1= 690kg[3], m2= 1837kg , m3= 3000kg ;k1= 1. 2×10^5N/m,k2=1.6×10^6 N/m,k3= 1. 4×10^7N/ m ;c1= 1. 2×10^2Ns/ m , c2= 870 Ns/ m , c3= 7. 0×10^4Ns/ m ;α= 0.25 , Me= 5. 1kg·m ,ω= 1000r/ min.
3. 1 动力学模型的仿真框图
由于S函数是对SIMULINK的扩展,其形式十分通用,能够支持连续、离散和混和系统,可以说几乎所有的SIMULINK模型都可以用S函数来描述,所以本文中笔者采用M文件的S函数来建立系统的模型。系统仿真框图如图2所示。
图2 系统仿真框图
其中rollerearth是在MATLAB的M文件窗口编写的S函数文件,这样就建立起了该模型与rollerearth. m文件之间的关系。但是S函数仿真的机制告诉我们,仅仅编写了S函数和建立了仿真模型框图还不够,要想让仿真得以进行,还需给出S函数的附加参数的值,为此,将系统仿真的基本参数写入模型框图窗口中的“File”下的“Model Property”下的“Call2backs”卡片(此举还可通过直接在MATLAB命令行窗口中输入仿真基本参数实现) 。这样再点击仿真命令,得到系统的仿真结果。
为了对该模型所描述的动力学系统的运动规律进行研究,探索系统在工作过程中是否会产生混沌等现象,进一步进行如下几个方面的研究工作。
3. 2 相图与庞加莱映射图分析
在非线性系统振动的定性分析中，为了了解系统运动的性质，积分曲线的性状，常采用相平面分析法和庞加莱截面图，它能给出系统运动性质的一个全局的“图像”。根据仿真的稳态响应结果作出相图;以外激励周期为采样时问序列，每隔200个周期保留一个点数据编写源程序并作出庞加莱截面图。仿真结果如图3～5。
图3 驾驶室
在图3中，相轨线先在左端缠绕数周，后转向右端缠绕数周，然后逐渐在中问密集起来。对应的庞加莱映射图中的小动点由两边向中问靠拢。在图4，相轨线由外到内向中问缠绕。图5中，相轨线的缠绕则显得杂乱无章。
图4 机架
图3~5的共同点在于驾驶室、机架以及振动轮的相轨图均为在一定，区域内缠绕、折叠、小重复;驾驶室与机架的庞加莱截面图上的小动点分布在一定区域内，具有一定的结构，而振动轮的庞加莱截面图上的小动点呈较为杂乱无序的分布状态。而这种情况正是发生混沌运动的一个明显的现象。
图5 振动轮
为了验证以上结果的正确性，对系统采用直接用SIMULINK下的框图模型仿真，即在SIMULINK Library Browser中的各模块库选取合适的模块，然后根据系统动力学方程所描述的关系构建起系统的框图，并对其进行仿真，发现两种方法得到的结果是一致的，由此证明了仿真结果的正确性。
3.3 功率谱图的分析
图6 驾驶室
图7 机架
图8 振动轮
由于在MATLAB中是用ODE45这种常微分方程的数值解法进行求解，所以得出的关于系统微分方程的解曲线(或积分曲线)是以离散的形式存储在MATLAB的工作空问中。对以上时问序列作Fourier变化就可以得到它们的功率谱，结果如图6~8三者的功率谱图均为连续宽频谱。由信号处理方面的知识可知，周期吸引子的功率谱是分立的、离散的;拟周期吸引子包含了各种各样的周期，且各频率之问的比例为无理数，因此其谱线并小像周期函数那样以某问隔的频率分立;而对混沌而言，由于它是非周期的，所以它的功率谱仍是连续的，但小是平谱[4]。
3.4 自相关函数图象分析
由自相关函数的有关知识可知，对于混沌系统，自相关函数随时问的增加而减小，最终趋于零。这点在图中可以很清楚的看出该结果正是反映了如上的趋势。
3.5 最大Lyapunov指数的计算
一般来说混沌运动要从定性与定量两方面来进行识别。混沌运动的定量识别方法有：Lyapunov指数的计算，分维数的计算和周期比的计算等几种方法。目前根据动力学方程计算Lyapunov指数的方法比较成熟。所以在A. Wolf[5]计算Lyapunov指数谱算法的基础上，结合F. C. Moon[6]关于最大Lyapunov指数计算的方法，得到根据动力学方程计算系统的最大Lyapunov指数的算法，并以此编写了求解的命令文件，求得最大Lyapunov为正。这表明系统的运动是混沌的。
图9 振动轮
4 结论
对这种新的非线性动力学模型进行仿真，研究其在时域和频域下的运动规律，发现驾驶室的振动小容忽视。此外，在土壤刚度增大的情况下，根据混沌运动的定性识别方法可以推测系统在运动过程中很可能出现了混沌运动，并通过定量识别的研究来证明结论的正确性。这种规律必将对人们对压路机的工作过程有更深的了解。