1 数值积分基本原理
求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。
它们的基本思想都是将整个积分区间[a, b]分成n个子区间[xi, xi+1]，i=1, 2, …, n，其中x1 = a，xn+1 = b。这样求定积分问题就分解为求和问题。
2 数值积分的实现方法
2.1 变步长辛普生法
基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：
[I, n] = quad('fname', a, b, tol, trace)
其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。
例1 求定积分：
(1) 建立被积函数文件fesin.m。
function f=fesin(x)
f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);
(2) 调用数值积分函数quad求定积分。
[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)
(S为返回值,n是调用次数)
2.2 牛顿－柯特斯法
基于牛顿－柯特斯法，MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为：
[I, n] = quad8('fname', a, b, tol, trace)
其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。
例2 求定积分:
(1) 被积函数文件fx.m。
function f=fx(x)
f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));
(2) 调用函数quad8求定积分。
I=quad8('fx',0,pi)
例3 分别用quad函数和quad8函数求定积分
的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。
1)调用函数quad求定积分：
format long;
fx=inline('exp(-x)');
[I,n] = quad(fx,1,2.5,1e-10)
2)调用函数quad8求定积分：
format long;
fx=inline('exp(-x)');
[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)
2.3 被积函数由一个表格定义
(要求积分,但是函数没有直接给出,只是自己在做实验时得到的一组相关联的数据)
在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。
例4 用trapz函数计算定积分。
命令如下：
X=1:0.01:2.5;
Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量
trapz(X,Y)
ans =
0.28579682416393
3 二重定积分的数值求解
使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：
I = dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)
该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。
例5 计算二重定积分
(1) 建立一个函数文件fxy.m：
function f=fxy(x,y)
global ki;
ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数
f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);
(2) 调用dblquad函数求解。
global ki;ki=0;
I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)
ki